Углы треугольника АВС относятся как \(\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3\). Биссектриса ВМ угла АВС равна 11. Найдите длину отрезка МC.

1. Пусть углы треугольника ABC равны x, 2x и 3x соответственно. Сумма углов в треугольнике равна 180°: \[x + 2x + 3x = 180^\circ\] \[6x = 180^\circ\] \[x = 30^\circ\] Значит, углы треугольника ABC равны: ∠A = 30° ∠B = 2 * 30° = 60° ∠C = 3 * 30° = 90° Следовательно, треугольник ABC - прямоугольный.
2. BM - биссектриса угла B, значит ∠ABM = ∠CBM = 60° / 2 = 30°.
3. Рассмотрим треугольник BMC. В этом треугольнике: ∠MBC = 30° ∠BCM = 90° Тогда ∠BMC = 180° - 30° - 90° = 60°
4. Рассмотрим треугольник ABM. В этом треугольнике: ∠BAM = 30° ∠ABM = 30° Значит, треугольник ABM - равнобедренный, AB = BM = 11.
5. В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 30 градусам, значит, катет BC равен половине гипотенузы AB. BC = 1/2 * AB.
6. В прямоугольном треугольнике BCM угол B равен 30 градусам, значит, MC = 1/2 * BM = 1/2 * 11 = 5.5.

Ответ: 5.5