6. Углы треугольника АВС относятся так <A:<B:<C = 1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 14. Найдите отрезок МС.

Пусть угол A = x, тогда угол B = 2x, угол C = 3x. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому x + 2x + 3x = 180°. 6x = 180°. x = 30°. Следовательно, угол A = 30°, угол B = 60°, угол C = 90°. То есть треугольник ABC - прямоугольный, угол C = 90°. Так как BM - биссектриса угла ABC, то угол ABM = углу CBM = угол B / 2 = 60° / 2 = 30°. Рассмотрим треугольник ABM: угол A = 30°, угол ABM = 30°, следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AM = BM = 14. Рассмотрим треугольник BCM: угол C = 90°, угол CBM = 30°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, MC = BM / 2 = 14 / 2 = 7. Ответ: 7