637 Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке Д. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

Пусть O - центр окружности. Так как AB - диаметр, то угол ACB = 90° (угол, опирающийся на диаметр). Тогда угол BAC = 180° - 90° - 30° = 60°. Угол между касательной CD и хордой AC равен углу BAC (угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними, а угол BAC опирается на эту же дугу). Следовательно, угол ACD = углу BAC = 60°. В треугольнике ACD: угол CAD = 180° - угол BAC = 180° - 60° = 120°. Тогда угол ADC = 180° - угол CAD - угол ACD = 180° - 120° - 60° = 0°. Но это невозможно. Скорее всего в условии опечатка и касательная пересекает продолжение прямой АВ. Решим задачу с этим условием. Угол DCA является углом между касательной и хордой, следовательно, он равен половине дуги AC. Угол ABC опирается на дугу AC и равен половине дуги AC. Значит, угол DCA = углу ABC. Внешний угол треугольника ABC при вершине B равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним: углу BAC и углу ACB. Угол ADC является внешним углом треугольника BDC при вершине D. Угол ADC = угол ABC + угол BCA = углу DCA + угол BCA. Следовательно, в треугольнике ACD угол DAC = углу DCA. Значит, треугольник ACD - равнобедренный.