76 Угол между высотой прямоугольного треугольника, опущенной на гипоте- нузу, и одним из катетов равен 30° Этот катет равен 8 см. Найдите гипо- тенузу. Сделайте рисунок в тетради.

1. Обозначим прямоугольный треугольник как \(\triangle ABC\), где \(\angle C = 90^\circ\).
2. Пусть высота, опущенная из вершины \(C\) на гипотенузу \(AB\), будет \(CH\).
3. Дано, что \(\angle ACH = 30^\circ\) и катет \(AC = 8\) см. Нужно найти гипотенузу \(AB\).
4. В прямоугольном \(\triangle ACH\) имеем: \[\cos(\angle ACH) = \frac{AC}{AH}\] Отсюда \[\cos(30^\circ) = \frac{8}{AH}\] Так как \[\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{AH}\] Следовательно, \[AH = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\text{ см}\]
5. Также, \[\angle BCH = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]
6. Рассмотрим \(\triangle ABC\). Так как \(\angle ACH = 30^\circ\), то \[\angle BAC = 30^\circ\] В прямоугольном \(\triangle ABC\) катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Следовательно, \[BC = \frac{1}{2}AB\]
7. Используем теорему Пифагора для \(\triangle ABC\): \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] Так как \(BC = \frac{1}{2}AB\), то \[AB^2 = 8^2 + (\frac{1}{2}AB)^2\] \[AB^2 = 64 + \frac{1}{4}AB^2\] \[\frac{3}{4}AB^2 = 64\] \[AB^2 = \frac{4}{3} \cdot 64 = \frac{256}{3}\] \[AB = \sqrt{\frac{256}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\text{ см}\]

Рассмотрим другой вариант решения:

1. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30 градусов равен половине гипотенузы.
2. Так как угол между высотой и катетом равен 30 градусам, то угол между гипотенузой и этим катетом равен 60 градусам.
3. Тогда противолежащий катет, для угла в 60 градусов равен 8 см.
4. Этот катет является прилежащим к углу в 30 градусов.
5. Следовательно, гипотенуза равна 8/cos(60) = 8/(1/2) = 16 см.