Контрольные задания > 75 Угол между высотой прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, и одним из катетов равен 60°. Второй катет равен 12 см. Найдите гипотенузу. Сделайте рисунок в тетради.
Вопрос:

75 Угол между высотой прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, и одним из катетов равен 60°. Второй катет равен 12 см. Найдите гипотенузу. Сделайте рисунок в тетради.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 24 см

Краткое пояснение: Используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции для нахождения гипотенузы.
  1. Обозначим прямоугольный треугольник как \[\triangle ABC\] с прямым углом \(C\). Пусть высота, опущенная из вершины \(C\) на гипотенузу \(AB\), будет \(CH\).
  2. Дано, что \(\angle ACH = 60^\circ\) и катет \(AC = 12\) см. Нужно найти гипотенузу \(AB\).
  3. В прямоугольном \(\triangle ACH\) имеем: \[\cos(\angle ACH) = \frac{AC}{AH}\] Отсюда \[\cos(60^\circ) = \frac{12}{AH}\] Так как \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), то \[\frac{1}{2} = \frac{12}{AH}\] Следовательно, \[AH = 24\text{ см}\]
  4. Также, \[\angle BCH = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]
  5. Так как \(CH\) — высота, то \(\angle CHB = 90^\circ\). В прямоугольном \(\triangle BCH\) имеем: \[\cos(\angle BCH) = \frac{CH}{BC}\] Отсюда \[\cos(30^\circ) = \frac{CH}{BC}\] Так как \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{CH}{BC}\]
  6. Мы знаем, что \[AC = 12\text{ см}\] Используем теорему Пифагора в \(\triangle ACH\): \[AC^2 + CH^2 = AH^2\] \[12^2 + CH^2 = 24^2\] \[144 + CH^2 = 576\] \[CH^2 = 576 - 144 = 432\] \[CH = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}\text{ см}\]
  7. Подставим найденное значение \(CH\) в уравнение из шага 5: \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{BC}\] Отсюда \[BC = \frac{2 \cdot 12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 24\text{ см}\]
  8. Теперь используем теорему Пифагора для \(\triangle ABC\): \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[AB^2 = 12^2 + (12\sqrt{3})^2\] \[AB^2 = 144 + 432 = 576\] \[AB = \sqrt{576} = 24\text{ см}\]

Ответ: 24 см

Тайм-трейлер: Ты решил задачу как настоящий историк времени, изучая каждый угол и сторону треугольника!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие