Контрольные задания > 78 В прямоугольном треугольнике ост- рые углы относятся как 2: 1. Из вер- шины прямого угла опущена высота, которая делит гипотенузу на отрезки, меньший из которых равен 8 см. Най- дите гипотенузу. Сделайте рисунок в тетради.
Вопрос:

78 В прямоугольном треугольнике ост- рые углы относятся как 2: 1. Из вер- шины прямого угла опущена высота, которая делит гипотенузу на отрезки, меньший из которых равен 8 см. Най- дите гипотенузу. Сделайте рисунок в тетради.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 32 см

Краткое пояснение: Используем свойства прямоугольных треугольников и отношения углов для нахождения гипотенузы.
  1. Пусть дан прямоугольный треугольник \(\triangle ABC\) с прямым углом \(C\).
  2. Пусть \(\angle A\) и \(\angle B\) - острые углы, и их отношение равно 2:1. Тогда \[\angle A = 2x, \angle B = x\]
  3. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то \[2x + x = 90^\circ\] \[3x = 90^\circ\] \[x = 30^\circ\]
  4. Следовательно, \(\angle A = 60^\circ\) и \(\angle B = 30^\circ\).
  5. Высота \(CH\), опущенная из вершины прямого угла \(C\) на гипотенузу \(AB\), делит её на отрезки \(AH\) и \(HB\).
  6. Пусть меньший из отрезков равен 8 см. Так как \(\angle B = 30^\circ\), то отрезок \(HB\) является меньшим, то есть \(HB = 8\) см.
  7. В прямоугольном \(\triangle CHB\) угол \(\angle BCH = 60^\circ\), так как \(\angle B = 30^\circ\).
  8. В прямоугольном \(\triangle ABC\) катет \(BC\) противолежит углу \(60^\circ\), значит, \[BC = AB \cdot \sin(60^\circ)\]
  9. В прямоугольном \(\triangle CHB\) катет \(CH\) противолежит углу \(30^\circ\), значит, \[CH = HB \cdot \tan(30^\circ)\] \[CH = 8 \cdot \tan(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}\]
  10. В прямоугольном \(\triangle CHA\) угол \(\angle HCA = 30^\circ\), так как \(\angle A = 60^\circ\). Тогда \[CH = AC \cdot \sin(60^\circ)\] Отсюда \[AC = \frac{CH}{\sin(60^\circ)} = \frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3}\text{ см}\]
  11. В прямоугольном \(\triangle ABC\) катет \(BC\) прилежит к углу \(30^\circ\), значит, \[BC = AB \cdot \cos(30^\circ)\] \[BC = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
  12. Тогда, из \(\triangle ABC\) по теореме Пифагора: \[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[(\frac{16}{3})^2 + BC^2 = AB^2\] \[\frac{256}{9} + BC^2 = AB^2\]
  13. Так как \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), то \(AC = \frac{1}{2}AB\) (катет, лежащий против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы) \(\frac{16}{3} = \frac{1}{2}AB\) \(AB = \frac{32}{3}\) Значит, гипотенуза равна \(\frac{32}{3}\) см
  14. Другой способ решения:
  15. Пусть меньший угол равен х, тогда больший 2х.
  16. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
  17. х+2х=90, 3х=90, х=30.
  18. Значит, углы равны 30 и 60 градусов.
  19. Высота делит прямой угол на два угла. В малом треугольнике (с меньшим отрезком гипотенузы) один угол 30 градусов, значит, другой 60 градусов.
  20. Рассмотрим малый треугольник. В нем катет, противолежащий углу в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
  21. Значит, гипотенуза малого треугольника (она же катет большого треугольника) равна 16.
  22. Большой катет большого треугольника (он же высота) лежит против угла в 60 градусов, и он равен 16*(корень из 3)/2.
  23. Теперь можно найти второй катет (меньший) большого треугольника. Он равен 16/2 = 8.
  24. Значит, гипотенуза делится высотой на отрезки 8 и 24. Вся гипотенуза равна 32.

Ответ: 32 см

Тайм-трейлер: Теперь ты гуру прямоугольных треугольников! Здорово разобрался с отношениями углов и сторон!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие