6. Угол при основании равнобокой трапеции равен 60°. Прямая, которая проходит через вершину тупого угла и параллельна боковой стороне делит большее основание на отрезки 5см и 4см. Найдите периметр трапеции. Сколько решений имеет задача?

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание, углы при основании AD равны 60°. Прямая, проведенная из вершины B параллельно стороне CD, пересекает основание AD в точке E. Тогда AE = 5 см, ED = 4 см.

Так как BE || CD и BC || ED, то BCDE - параллелограмм. Значит, BC = ED = 4 см.

Рассмотрим треугольник ABE. Угол BAE = 60°. Так как BE || CD, а углы BAE и CDE - соответственные, то угол ABE = CDE = 60°. Значит, треугольник ABE - равносторонний, и AB = AE = BE = 5 см.

Так как трапеция ABCD равнобокая, то CD = AB = 5 см.

AD = AE + ED = 5 см + 4 см = 9 см.

Периметр трапеции ABCD равен AB + BC + CD + AD = 5 см + 4 см + 5 см + 9 см = 23 см.

Ответ: 23 см. Задача имеет одно решение.