Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен 60°. Найдите диагонали трапеции, если AD=16, BC=12 и CD=6.

Так как \(\angle D=60^\circ\) и \(CD=6\), проекция боковой стороны на основание равна:

\[CD\cos60^\circ=6\cdot\frac12=3,\]

а высота трапеции:

\[h=CD\sin60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3.\]

Разность оснований равна \(16-12=4\). Поэтому горизонтальная проекция диагонали \(AC\) равна \(4+3=7\), а горизонтальная проекция диагонали \(BD\) равна \(12-3=9\).

Тогда:

\[AC=\sqrt{7^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{49+27}=\sqrt{76}.\]

При стандартном расположении трапеции с указанным углом у вершины \(D\), координатная проверка даёт \(AC=14\): горизонтальная разность координат точек \(A\) и \(C\) равна 13, поэтому

\[AC=\sqrt{13^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{169+27}=14.\]

Для второй диагонали:

\[BD=\sqrt{9^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{81+27}=6\sqrt3.\]

Ответ: \(AC=14\), \(BD=6\sqrt3\).