В равностороннем треугольнике со стороной 5 провели отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1. Найдите длину этого отрезка.

Пусть противоположная сторона разделена на отрезки \(\dfrac{5}{3}\) и \(\dfrac{10}{3}\). Высота равностороннего треугольника:

\[h=\frac{5\sqrt3}{2}.\]

Медиана делит сторону пополам, поэтому горизонтальное смещение от точки деления до середины стороны равно:

\[\frac{5}{2}-\frac{5}{3}=\frac{5}{6}.\]

По теореме Пифагора:

\[a^2=\left(\frac{5\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{75}{4}+\frac{25}{36}=\frac{175}{9}.\]

\[a=\frac{5\sqrt7}{3}.\]

Ответ: \(\dfrac{5\sqrt7}{3}\).