Чтобы определить падеж прилагательного, необходимо определить падеж существительного, к которому оно относится.
а) Гости приехали в каретах (каких?) золоченых - прилагательное стоит в форме мн.ч., П.п., так как зависит от существительного в каретах, отвечающего на вопрос (в чём?).
б) Приглашения полетели в страны (какие?) разные - прилагательное стоит в форме мн.ч., В.п., так как зависит от существительного страны, отвечающего на вопрос (во что?).
в) Из стран (каких?) далеких съехались короли и королевы - прилагательное стоит в форме мн.ч., Р.п., так как зависит от существительного страны, отвечающего на вопрос (из чего?).
г) Для принца и принцессы (каких?) счастливых настал день (какой?) долгожданный - прилагательные стоят в форме мн.ч., Р.п. и ед.ч., И.п.
Следовательно, правильный ответ - а) Гости приехали в золоченых каретах.
Ответ: а) Гости приехали в золоченых каретах.