Укажите решение неравенства \( (x + 4)(x - 8) \le 0 \).

Решение:

Чтобы решить неравенство \( (x + 4)(x - 8) \le 0 \), найдём корни соответствующего уравнения \( (x + 4)(x - 8) = 0 \).

1. Корни уравнения: \( x + 4 = 0 \) или \( x - 8 = 0 \).
2. Следовательно, \( x_1 = -4 \) и \( x_2 = 8 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -4) \), \( (-4; 8) \), \( (8; +\infty) \).

Определим знак выражения \( (x + 4)(x - 8) \) в каждом интервале:

• Возьмём пробную точку из интервала \( (-\infty; -4) \), например, \( x = -5 \): \( (-5 + 4)(-5 - 8) = (-1)(-13) = 13 \) (плюс).
• Возьмём пробную точку из интервала \( (-4; 8) \), например, \( x = 0 \): \( (0 + 4)(0 - 8) = (4)(-8) = -32 \) (минус).
• Возьмём пробную точку из интервала \( (8; +\infty) \), например, \( x = 9 \): \( (9 + 4)(9 - 8) = (13)(1) = 13 \) (плюс).

Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \), то есть отрицательным или равным нулю. Решением является интервал \( (-4; 8) \), включая концы, так как неравенство нестрогое.

Таким образом, решение неравенства: \( [-4; 8] \).

Ответ: [-4; 8].