Укажите верные неравенства, если a ∈ (-∞;0): 1) (a-1)³ <0; 2) a³-1<0; 3) a⁴-a²<0; 4) a⁶:a²<0; 5) |a³|<0; 6) a⁴·a⁵>0; 7) (-a)³>0.

Решение:

Рассмотрим каждое неравенство, учитывая, что \( a < 0 \).

1. \( (a-1)^3 < 0 \). Так как \( a < 0 \), то \( a-1 \) будет отрицательным. Куб отрицательного числа отрицателен. Верно.
2. \( a^3 - 1 < 0 \). Так как \( a < 0 \), то \( a^3 < 0 \). Вычитание единицы из отрицательного числа даст ещё более отрицательное число. Верно.
3. \( a^4 - a^2 < 0 \). \( a^4 = (a^2)^2 \). Так как \( a < 0 \), то \( a^2 > 0 \) и \( a^4 > 0 \). \( a^2 > 0 \). Выражение \( a^4 - a^2 \) может быть как положительным, так и отрицательным (например, если \( a=-0.5 \), то \( a^4 = 0.0625 \), \( a^2 = 0.25 \), \( 0.0625 - 0.25 < 0 \); если \( a=-2 \), то \( a^4 = 16 \), \( a^2 = 4 \), \( 16 - 4 > 0 \)). Не всегда верно.
4. \( a^6 : a^2 < 0 \). \( a^6 : a^2 = a^{6-2} = a^4 \). Так как \( a < 0 \), то \( a^4 > 0 \). Неверно.
5. \( |a^3| < 0 \). Абсолютное значение любого числа неотрицательно. Неверно.
6. \( a^4 · a^5 > 0 \). \( a^4 · a^5 = a^{4+5} = a^9 \). Так как \( a < 0 \) и показатель степени нечётный (9), то \( a^9 < 0 \). Неверно.
7. \( (-a)^3 > 0 \). Так как \( a < 0 \), то \( -a > 0 \). Куб положительного числа положителен. Верно.

Ответ: 1, 2, 7.