Упр. 10. В треугольнике ABC точка C′ симметрична вершине C относительно вершины B, а точка A′ симметрична вершине A относительно вершины C. В каком отношении прямая AB делит отрезок A′C′?

1. Обозначим через D точку пересечения прямой AB с отрезком A′C′. Поскольку C′ — отражение C относительно B, B — середина CC′; поскольку A′ — отражение A относительно C, C — середина AA′.
2. Применим теорему Менелая к треугольнику ACC′ и секущей A′–D–B. Она даёт

   \(\dfrac{AD}{DC}\cdot\dfrac{CB}{BC'}\cdot\dfrac{C'A'}{A'A}=1\).

3. Из серединных отношений \(CB=BC'\) и \(C'A'=2AC\), \(A'A=2AC\), поэтому \(AD/DC=1\). Следовательно, D — середина отрезка AC. Это противоречит тому, что D лежит на AB, если треугольник невырожден.

Значит, применённое построение не согласуется с обычным чтением условия: прямая AB и отрезок A′C′ в общем случае не пересекаются внутри отрезка. При координатах \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(C=(u,v)\) (\(v\ne0\)) точки имеют координаты \(A'=(2u,2v)\), \(C'=(2-u,-v)\). Пересечение прямых AB и A′C′ соответствует параметру \(2/3\) на прямой A′C′ и имеет абсциссу \(4/3\). Оно лежит за B, а не на отрезке AB. По этому прочтению \(AD:DB=4:1\), внешнее деление.

Пожалуйста, уточните формулировку: возможно, на изображении неверно распознано название прямой или отрезка.