Упр. 11. Докажите, что в произвольном треугольнике одна из его вершин, точка, делящая противоположную ей сторону в отношении 1 : 2, и середина одной из его медиан лежат на одной прямой.

В видимой формулировке не уточнено, какую именно медиану следует взять, а утверждение в общем виде неверно. Например, пусть \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(C=(0,1)\), а точка D делит противоположную вершине A сторону BC в отношении \(BD:DC=1:2\). Тогда \(D=(1/3,2/3)\). Середины медиан из B и C имеют координаты соответственно \((0,1/2)\) и \((1/4,1/2)\); ни одна не лежит на прямой AD. Середина медианы из A лежит на AD только при D, являющейся серединой BC, а это не деление в отношении 1 : 2.

Чтобы дать корректное доказательство, нужно уточнить, какая вершина, какой способ отсчёта отношения и какая именно медиана имеются в виду.