Упражнение 18. 5*. Масса Земли равна 6 · 10²⁴ кг, а масса Луны — 7 · 10²² кг. Считая, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиусом 384 000 км, определите: а) силу притяжения между Землёй и Луной; б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли; в) модуль скорости движения Луны относительно Земли.

Дано: \(M = 6\cdot10^{24}\text{ кг}\), \(m = 7\cdot10^{22}\text{ кг}\), \(R = 384\,000\text{ км} = 3.84\cdot10^8\text{ м}\), \(G = 6.67\cdot10^{-11}\text{ Н·м}^2/\text{кг}^2\).

а) Сила притяжения. По закону всемирного тяготения \(F = \dfrac{GMm}{R^2}\).

\(F = \dfrac{6.67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot7\cdot10^{22}}{(3.84\cdot10^8)^2} \approx 1.90\cdot10^{20}\text{ Н}\).

б) Центростремительное ускорение Луны. Из второго закона Ньютона \(a = F/m = GM/R^2\).

\(a = \dfrac{6.67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{(3.84\cdot10^8)^2} \approx 2.71\cdot10^{-3}\text{ м/с}^2\).

в) Скорость Луны. Из формулы центростремительного ускорения \(a = v^2/R\), откуда \(v = \sqrt{aR}\).

\(v = \sqrt{2.71\cdot10^{-3}\cdot3.84\cdot10^8} \approx 1.02\cdot10^3\text{ м/с}\).

Ответ: а) 1.90·10²⁰ Н; б) 2.71·10⁻³ м/с²; в) 1.02·10³ м/с.