21. Упростить выражение: $$\frac{\sin(\pi+\alpha)\cdot \text{tg}(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}{\text{ctg}(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cdot \cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)}$$

Начнем с упрощения тригонометрических функций, используя формулы приведения: $$\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$$ $$\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$$ $$\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$$ $$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$$ Подставим полученные выражения в исходное выражение: $$\frac{-\sin(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha)}{\text{tg}(\alpha) \cdot (-\sin(\alpha))}$$ Сократим $$-\sin(\alpha)$$ в числителе и знаменателе: $$\frac{\text{ctg}(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)}$$ Так как $$\text{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha)}$$, то получим: $$\frac{\frac{1}{\text{tg}(\alpha)}}{\text{tg}(\alpha)} = \frac{1}{\text{tg}^2(\alpha)}$$ Используя определение $$\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$, имеем: $$\frac{1}{\text{tg}^2(\alpha)} = \frac{1}{\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \text{ctg}^2(\alpha)$$ Ответ: $$\text{ctg}^2(\alpha)$$