21. Упростить выражение: $$\frac{\sin(\pi+\alpha) \cdot tg(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}{\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}-\alpha) \cdot \cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)}$$

Для упрощения выражения используем следующие формулы приведения: * $$\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$$ * $$tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$$ * $$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$$ * $$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$$ Подставим эти выражения в исходное: $$\frac{-\sin(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)}{tg(\alpha) \cdot (-\sin(\alpha))}$$ Сократим $$-\sin(\alpha)$$ в числителе и знаменателе: $$\frac{\operatorname{ctg}(\alpha)}{tg(\alpha)}$$ Так как $$\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)}$$, то $$\frac{\frac{1}{tg(\alpha)}}{tg(\alpha)} = \frac{1}{tg^2(\alpha)} = \operatorname{ctg}^2(\alpha)$$ Ответ: $$\operatorname{ctg}^2(\alpha)$$