4. Упростить выражение: $$\frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}+\frac{3x}{x^2-49} + \frac{21}{49-x^2}$$

Упростим выражение $$\frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}+\frac{3x}{x^2-49} + \frac{21}{49-x^2}$$

Заметим, что $$49 - x^2 = -(x^2 - 49)$$, поэтому:

$$\frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}+\frac{3x}{x^2-49} - \frac{21}{x^2-49} = \frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}+\frac{3x-21}{x^2-49} = \frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}+\frac{3(x-7)}{(x-7)(x+7)} = \frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}+\frac{3}{x+7}$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}+\frac{3}{x+7} = \frac{5x(x+7)-2(x-7)(x+7)+3x(x-7)}{x(x-7)(x+7)} = \frac{5x^2+35x-2(x^2-49)+3x^2-21x}{x(x-7)(x+7)} = \frac{5x^2+35x-2x^2+98+3x^2-21x}{x(x-7)(x+7)} = \frac{6x^2+14x+98}{x(x-7)(x+7)} = \frac{2(3x^2+7x+49)}{x(x-7)(x+7)}$$

Ответ: $$\frac{2(3x^2+7x+49)}{x(x-7)(x+7)}$$