Упростить выражение \(y=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}\) при: а) \(x<1\); б) \(1\le x\le3\); в) \(x>3\).

Выделим полные квадраты и используем \(\sqrt{u^2}=|u|\):

\(y=\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x-3)^2}=|x-1|+|x-3|\).

1. Если \(x<1\), то оба выражения внутри модулей отрицательны: \(y=(1-x)+(3-x)=4-2x\).

2. Если \(1\le x\le3\), то \(x-1\ge0\), а \(x-3\le0\): \(y=(x-1)+(3-x)=2\).

3. Если \(x>3\), оба выражения внутри модулей положительны: \(y=(x-1)+(x-3)=2x-4\).

Ответ: а) \(y=4-2x\); б) \(y=2\); в) \(y=2x-4\).