Упростите рациональное алгебраическое выражение: (x²/y - y²/x) / (1/x + 1/y)

Решение:

Сначала преобразуем числитель и знаменатель дроби:

1. Числитель: \( \frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x} = \frac{x^3 - y^3}{xy} \)
2. Знаменатель: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy} \)
3. Теперь разделим числитель на знаменатель: \( \frac{\frac{x^3 - y^3}{xy}}{\frac{y+x}{xy}} = \frac{x^3 - y^3}{xy} \cdot \frac{xy}{y+x} \)
4. Сократим \( xy \): \( \frac{x^3 - y^3}{y+x} \)
5. Воспользуемся формулой разности кубов \( x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) \): \( \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x+y} \)

Ответ: \(\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x+y}\)