Упростите выражение: 4) \(\left(\dfrac{2y-1}{y^2+2y+4}+\dfrac{9y+6}{y^3-8}+\dfrac{1}{y-2}\right)\cdot\dfrac{y^2-4}{18}\).

Разложим разность кубов: \(y^3-8=(y-2)(y^2+2y+4)\). Приведём выражения в скобках к общему знаменателю:

\(\dfrac{(2y-1)(y-2)+(9y+6)+(y^2+2y+4)}{(y-2)(y^2+2y+4)}\).

Числитель равен \(3y^2+6y+12=3(y^2+2y+4)\), поэтому сумма равна \(\dfrac{3}{y-2}\).

Умножим на вторую дробь и разложим разность квадратов:

\(\dfrac{3}{y-2}\cdot\dfrac{(y-2)(y+2)}{18}=\dfrac{y+2}{6}\).

В исходном выражении \(y\ne2\).

Ответ: \(\dfrac{y+2}{6}\), где \(y\ne2\).