Упростите выражение: 4) \(\left(\frac{8b}{b+7}-\frac{15b}{b^2+14b+49}\right):\frac{8b+41}{b^2-49}+\frac{7b-49}{b+7}\).

Область допустимых значений: \(b\ne -7\), \(b\ne 7\), \(b\ne -\frac{41}{8}\). Последнее значение исключается, поскольку дробь, на которую делим, тогда равна нулю.

1. Упростим выражение в скобках:

   \[\frac{8b}{b+7}-\frac{15b}{b^2+14b+49}=\frac{8b(b+7)-15b}{(b+7)^2}=\frac{b(8b+41)}{(b+7)^2}.\]

2. Разделим результат на первую дробь после знака деления:

   \[\frac{b(8b+41)}{(b+7)^2}:\frac{8b+41}{b^2-49}=\frac{b(8b+41)}{(b+7)^2}\cdot\frac{(b-7)(b+7)}{8b+41}=\frac{b(b-7)}{b+7}.\]

3. Упростим оставшуюся дробь и сложим:

   \[\frac{7b-49}{b+7}=\frac{7(b-7)}{b+7},\qquad \frac{b(b-7)}{b+7}+\frac{7(b-7)}{b+7}=b-7.\]

Ответ: \(b-7\).