Упростите выражение \(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha\)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), из которого следует, что \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \) и \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \). Также, \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \).

Подставим эти значения в выражение:

\( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1 \)

Заменим \( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) на \( \operatorname{ctg}^2 \alpha \).

\( \operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \) или \( \operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \operatorname{cosec}^2 \alpha \).

Ответ: \(\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1\) (или \(\operatorname{cosec}^2 \alpha\))