Упростите выражение и найдите его значение: (n² + n + 1) / (n³ - 8) - (n + 3) / (8 - n³) при n = -4

Решение:

Сначала упростим выражение. Заметим, что знаменатель \( 8 - n^3 \) противоположен \( n^3 - 8 \). Изменим знак второго слагаемого:

\( \frac{n^2 + n + 1}{n^3 - 8} - \frac{n + 3}{-(n^3 - 8)} = \frac{n^2 + n + 1}{n^3 - 8} + \frac{n + 3}{n^3 - 8} \)

Теперь сложим числители, так как знаменатели одинаковы:

\( \frac{n^2 + n + 1 + n + 3}{n^3 - 8} = \frac{n^2 + 2n + 4}{n^3 - 8} \)

Знаменатель \( n^3 - 8 \) является разностью кубов и раскладывается как \( (n - 2)(n^2 + 2n + 4) \).

Таким образом, выражение становится:

\( \frac{n^2 + 2n + 4}{(n - 2)(n^2 + 2n + 4)} \)

Если \( n^2 + 2n + 4 \neq 0 \) (что верно для действительных \( n \) ), то мы можем сократить дробь:

\( \frac{1}{n - 2} \)

Теперь подставим значение \( n = -4 \):

\( \frac{1}{-4 - 2} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6} \)

Ответ: -\( \frac{1}{6} \)