Упростите выражение и найдите его значение при $$m = -1; n = 2$$. $$(4m^2 + 4mn + n^2) \cdot (2m - n)^2 - (16m^4 + n^4)$$.

Решение:

1. Раскроем первую скобку, заметив, что это квадрат суммы:
   $$4m^2 + 4mn + n^2 = (2m + n)^2$$.
2. Подставим это в выражение:
   $$(2m + n)^2 \cdot (2m - n)^2 - (16m^4 + n^4)$$.
3. Используем свойство степеней $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$:
   $$((2m + n)(2m - n))^2 - (16m^4 + n^4)$$.
4. Раскроем скобки внутри квадрата, используя формулу разности квадратов $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$:
   $$((2m)^2 - n^2)^2 - (16m^4 + n^4) = (4m^2 - n^2)^2 - (16m^4 + n^4)$$.
5. Раскроем квадрат разности $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$:
   $$(4m^2)^2 - 2(4m^2)(n^2) + (n^2)^2 - (16m^4 + n^4) = 16m^4 - 8m^2n^2 + n^4 - 16m^4 - n^4$$.
6. Сократим подобные слагаемые:
   $$16m^4 - 16m^4 - 8m^2n^2 + n^4 - n^4 = -8m^2n^2$$.
7. Теперь подставим значения $$m = -1$$ и $$n = 2$$:
   $$-8(-1)^2(2)^2 = -8(1)(4) = -32$$.

Ответ: -32