7. Упростите выражение \(\sqrt{10 - 4\sqrt{6}}\).

Решение: \(\sqrt{10 - 4\sqrt{6}} = \sqrt{10 - 2\sqrt{4 \cdot 6}} = \sqrt{10 - 2\sqrt{24}}\) Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности: \(10 - 2\sqrt{24} = (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab\) Тогда \(a^2 + b^2 = 10\) и \(ab = \sqrt{24}\) или \(a^2b^2 = 24\). Подберем числа a и b. Пусть \(a^2 = 6\) и \(b^2 = 4\), тогда \(a = \sqrt{6}\) и \(b = 2\). Проверим: \(a^2 + b^2 = 6 + 4 = 10\), \(ab = 2\sqrt{6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}\). Значит, \(\sqrt{10 - 4\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6} - 2)^2} = |\sqrt{6} - 2|\) Так как \(\sqrt{6} > 2\), то \(|\sqrt{6} - 2| = \sqrt{6} - 2\). Ответ: \(\sqrt{6} - 2\)