№1. Упростите выражение: 1) (x12)² + 24x; 2) (x+8)2 x(x + 5); 3) 2x(x+2)(x-2)2; 4) (y+7)2+(y+2) (y - 7); 5) (a+1)(a-1) - (a + 4)2; 6) (x-10) (9-x) + (x + 10)².

№1. Упростите выражение:

Разбираемся с каждым пунктом по порядку:

1) \[ (x - 12)^2 + 24x \]

• Раскрываем скобки, используя формулу квадрата разности: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
• \( (x - 12)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x^2 - 24x + 144 \)
• Подставляем в исходное выражение: \( x^2 - 24x + 144 + 24x \)
• Приводим подобные члены: \( x^2 + 144 \)

Ответ: \( x^2 + 144 \)

2) \[ (x + 8)^2 - x(x + 5) \]

• Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
• \( (x + 8)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 + 16x + 64 \)
• Раскрываем скобки во втором слагаемом: \( -x(x + 5) = -x^2 - 5x \)
• Подставляем в исходное выражение: \( x^2 + 16x + 64 - x^2 - 5x \)
• Приводим подобные члены: \( 11x + 64 \)

Ответ: \( 11x + 64 \)

3) \[ 2x(x + 2) - (x - 2)^2 \]

• Раскрываем скобки в первом слагаемом: \( 2x(x + 2) = 2x^2 + 4x \)
• Раскрываем скобки во втором слагаемом, используя формулу квадрата разности: \( (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)
• Подставляем в исходное выражение: \( 2x^2 + 4x - (x^2 - 4x + 4) \)
• Раскрываем скобки, меняя знаки: \( 2x^2 + 4x - x^2 + 4x - 4 \)
• Приводим подобные члены: \( x^2 + 8x - 4 \)

Ответ: \( x^2 + 8x - 4 \)

4) \[ (y + 7)^2 + (y + 2)(y - 7) \]

• Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы: \( (y + 7)^2 = y^2 + 14y + 49 \)
• Раскрываем скобки во втором слагаемом: \( (y + 2)(y - 7) = y^2 - 7y + 2y - 14 = y^2 - 5y - 14 \)
• Подставляем в исходное выражение: \( y^2 + 14y + 49 + y^2 - 5y - 14 \)
• Приводим подобные члены: \( 2y^2 + 9y + 35 \)

Ответ: \( 2y^2 + 9y + 35 \)

5) \[ (a + 1)(a - 1) - (a + 4)^2 \]

• Раскрываем скобки, используя формулу разности квадратов: \( (a + 1)(a - 1) = a^2 - 1 \)
• Раскрываем скобки во втором слагаемом, используя формулу квадрата суммы: \( (a + 4)^2 = a^2 + 8a + 16 \)
• Подставляем в исходное выражение: \( a^2 - 1 - (a^2 + 8a + 16) \)
• Раскрываем скобки, меняя знаки: \( a^2 - 1 - a^2 - 8a - 16 \)
• Приводим подобные члены: \( -8a - 17 \)

Ответ: \( -8a - 17 \)

6) \[ (x - 10)(9 - x) + (x + 10)^2 \]

• Раскрываем скобки в первом слагаемом: \( (x - 10)(9 - x) = 9x - x^2 - 90 + 10x = -x^2 + 19x - 90 \)
• Раскрываем скобки во втором слагаемом, используя формулу квадрата суммы: \( (x + 10)^2 = x^2 + 20x + 100 \)
• Подставляем в исходное выражение: \( -x^2 + 19x - 90 + x^2 + 20x + 100 \)
• Приводим подобные члены: \( 39x + 10 \)

Ответ: \( 39x + 10 \)