11. Упростите выражение: a) \(\frac{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta}\);

a) Упростим выражение: $$\frac{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta}$$.

Распишем синус разности и косинус разности:

$$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

Подставим в исходное выражение:

$$\frac{2 \sin \alpha \cos \beta - (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)}{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta} = \frac{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$$

В числителе получили синус суммы, а в знаменателе - косинус суммы:

$$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \tan(\alpha + \beta)$$

Ответ: $$\tan(\alpha + \beta)$$.