Упростите выражение: a) $$(a^4)^5 \cdot a^3$$; в) $$(aa^6)^9$$; б) $$(x^3y^7)^4$$; г) $$(m^2)^6 \cdot (m^3)^8$$.

Рассмотрим каждый вариант по отдельности:

a) $$(a^4)^5 \cdot a^3 = a^{4*5} \cdot a^3 = a^{20} \cdot a^3 = a^{20+3} = a^{23}$$ - сначала возводим степень в степень, затем умножаем степени с одинаковым основанием.

в) $$(aa^6)^9 = (a^{1+6})^9 = (a^7)^9 = a^{7*9} = a^{63}$$ - сначала упрощаем выражение в скобках, затем возводим степень в степень.

б) $$(x^3y^7)^4 = (x^3)^4 (y^7)^4 = x^{3*4}y^{7*4} = x^{12}y^{28}$$ - возводим каждый множитель в четвертую степень.

г) $$(m^2)^6 \cdot (m^3)^8 = m^{2*6} \cdot m^{3*8} = m^{12} \cdot m^{24} = m^{12+24} = m^{36}$$ - сначала возводим степень в степень, затем умножаем степени с одинаковым основанием.

Ответ: a) $$a^{23}$$; в) $$a^{63}$$; б) $$x^{12}y^{28}$$; г) $$m^{36}$$