4. Упростите выражение: cos(α + ) + sina; 4 √2 osa A) cosa 2 √2 Б) B) sina 2 2

1. Шаг 1: Применим формулу косинуса суммы: \[cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) = cos(\alpha)cos(\frac{\pi}{4}) - sin(\alpha)sin(\frac{\pi}{4})\]
2. Шаг 2: Вспоминаем, что cos(π/4) = sin(π/4) = √2 / 2. Подставляем эти значения в формулу: \[cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) = cos(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - sin(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
3. Шаг 3: Подставим полученное выражение в исходное уравнение: \[cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = cos(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - sin(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha)\]
4. Шаг 4: Упрощаем выражение: \[cos(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - sin(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha)\]

Ответ: A) \(\frac{\sqrt{2}}{2} cos\alpha\)