Уровень 1. 1. Биссектрисы прямого угла и одного из острых углов треугольника образуют угол 105°. Найдите гипотенузу, если его меньший катет равен 2 см.

Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \(\alpha\) и \(\beta\). Угол между биссектрисами прямого угла и одного из острых углов равен:

\[180^\circ-45^\circ-\frac{\beta}{2}=105^\circ.\]

Отсюда:

\[\frac{\beta}{2}=30^\circ,\qquad \beta=60^\circ.\]

Другой острый угол равен:

\[90^\circ-60^\circ=30^\circ.\]

В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60° и 90° меньший катет вдвое меньше гипотенузы. Поэтому:

\[c=2\cdot2=4\text{ см}.\]

Ответ: 4 см.