Ответ:

  1. Новые методы лечения дали эффективный результат. «Эффективный» означает действенный; «эффектный» — производящий впечатление.
  2. В искусстве балета он совершенный невежа. Ошибки нет: «совершенный» здесь значит «полный, законченный».
  3. В развитии языка важную роль играют внеязыковые факторы. В этом контексте речь идёт о факторах, влияющих на язык.
  4. По случаю приезда ревизора жена и дочь городничего обсуждают, какие платья надеть, а городничий даёт указания, чтобы больных одели почище. «Надеть» употребляется с предметом одежды; «одеть» — с человеком.
  5. Когда нам представилась возможность, мы поехали путешествовать. Ошибки нет.
  6. А здесь, по проекту дизайнеров, встанет шкаф для одежды. Ошибки в словоупотреблении нет.
  7. Документы готовы, осталось только директору поставить подпись. Подпись ставят; росписью называют, в частности, перечень или живописное оформление.
  8. Русский язык занимает шестое место в мире по распространённости. Возможна также формулировка: «по числу говорящих» — если имеется в виду именно число людей, говорящих на языке.