В библиотеке всего 504 книги. На всех полках количество книг одинаковое. Сколько полок в библиотеке, если известно, что на каждой полке книг больше 50, но меньше 70 книг?

Решение:

1. Шаг 1: Разложим число 504 на простые множители:
   \( 504 = 2 \times 252 = 2 \times 2 \times 126 = 2 \times 2 \times 2 \times 63 = 2^3 \times 3^2 \times 7 \)
2. Шаг 2: Нам нужно найти делитель числа 504, который находится в промежутке (50, 70). Переберем возможные комбинации множителей:
   \( 2^3 \times 7 = 8 \times 7 = 56 \).
   Проверим, входит ли 56 в заданный интервал: 50 < 56 < 70. Да, входит.
3. Шаг 3: Другие делители:
   \( 63 = 3^2 \times 7 \) — входит в интервал.
   \( 7 imes 2^3 = 56 \)
   \( 7 imes 3 imes 2 = 42 \) — меньше 50.
   \( 7 imes 3 imes 2^2 = 84 \) — больше 70.
   \( 3^2 imes 7 = 63 \) — входит в интервал.
   \( 2^3 imes 3 = 24 \) — меньше 50.
   \( 2^2 imes 3 imes 7 = 84 \) — больше 70.
   \( 2^3 imes 3^2 = 72 \) — больше 70.
4. Шаг 4: Проверим делители:
   504 / 56 = 9
   504 / 63 = 8.
   Следовательно, возможны два варианта: 8 полок по 63 книги или 9 полок по 56 книг. Однако, в условии задачи сказано, что количество книг на каждой полке одинаковое, и нам нужно найти количество полок. Оба варианта подходят под условие. Но обычно в таких задачах подразумевается один конкретный ответ. Давайте проверим, нет ли других комбинаций.
   \( 2 imes 3 imes 7 = 42 \) (не подходит)
   \( 2^2 imes 7 = 28 \) (не подходит)
   \( 3 imes 7 = 21 \) (не подходит)
   \( 2 imes 7 = 14 \) (не подходит)
   \( 7 \) (не подходит)
   \( 2 imes 3^2 imes 7 = 126 \) (не подходит)
   \( 2^3 imes 3 = 24 \) (не подходит)
   \( 2^2 imes 3 = 12 \) (не подходит)
   \( 2 imes 3 = 6 \) (не подходит)
   \( 3 \) (не подходит)
   \( 2^3 = 8 \) (не подходит)
   \( 2^2 = 4 \) (не подходит)
   \( 2 \) (не подходит)
   \( 3^2 = 9 \) (не подходит)
   \( 6 imes 7 = 42 \)
   \( 8 imes 7 = 56 \)
   \( 9 imes 7 = 63 \)
   \( 12 imes 7 = 84 \)
   \( 14 imes 3 = 42 \)
   \( 18 imes 7 = 126 \)
   \( 21 imes 8 = 168 \)
   \( 24 imes 7 = 168 \)
   \( 28 imes 9 = 252 \)
   \( 36 imes 7 = 252 \)
   \( 42 imes 12 = 504 \)
   \( 56 imes 9 = 504 \)
   \( 63 imes 8 = 504 \)
   \( 72 imes 7 = 504 \)
   Среди делителей, которые больше 50 и меньше 70, только 56 и 63.
5. Шаг 5: Если количество книг на каждой полке больше 50, но меньше 70, то возможны два варианта: 56 книг на полке (тогда полок 9) или 63 книги на полке (тогда полок 8). Так как в задаче не указано, что нужно найти наименьшее или наибольшее количество полок, и обычно такие задачи имеют единственный ответ, стоит проверить, нет ли другого способа интерпретации. Если бы был один вариант, например, 60 книг, то 504/60 = 8.4, что не является целым числом.
   Исходя из условия, что количество книг на каждой полке одинаковое, и оно находится в интервале (50, 70), мы находим делители 504.
   Делители 504: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 108, 126, 168, 252, 504.
   Делители, удовлетворяющие условию (больше 50, меньше 70): 56 и 63.
   Если на полке 56 книг, то полок 504 / 56 = 9.
   Если на полке 63 книги, то полок 504 / 63 = 8.
   Задача предполагает найти количество полок. Возможны два ответа: 8 или 9. В типовых задачах часто подразумевается единственный ответ. Если бы был дополнительный критерий, например, "наибольшее количество полок", то ответ был бы 9. Если бы был "наименьшее количество полок", то ответ был бы 8. Без дополнительных уточнений, оба варианта подходят. Однако, чаще всего в таких задачах подразумевается, что количество книг на полке должно быть именно одним из этих делителей.
6. Шаг 6: Поскольку в задаче не указано, какое количество полок нужно найти (минимальное, максимальное или единственно возможное), и оба варианта (8 и 9 полок) соответствуют условиям, возможны два ответа. Однако, часто в подобных задачах подразумевается, что такое число делителей (56 и 63) одно. Если предположить, что одна из цифр (56 или 63) является правильным количеством книг на полке, то соответственно количество полок будет 9 или 8.
   Без дополнительной информации, будем считать, что существует только один такой делитель. Проверим, что количество книг больше 50 и меньше 70.
   504 / 8 = 63 (книг на полке). 63 > 50 и 63 < 70. Количество полок = 8.
   504 / 9 = 56 (книг на полке). 56 > 50 и 56 < 70. Количество полок = 9.
   Чаще всего в таких задачах ищется именно делитель, который удовлетворяет условию. Оба 8 и 9 являются количеством полок.

Ответ: 8 или 9