1.В четырехугольнике ABCD AB || CD, BC || AD, O – точка пересечения диагоналей. Периметр Δ AOD равен 25 см, АС = 16 см, BD = 14 см. Найдите ВС.

Четырехугольник ABCD, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Обозначим AO = a, OD = b.

Периметр треугольника AOD равен:

$$P_{AOD} = AO + OD + AD = a + b + AD = 25$$

По условию задачи, AC = 16 см, BD = 14 см, следовательно:

$$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \text{ см}$$ $$OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \text{ см}$$

Тогда:

$$8 + 7 + AD = 25$$ $$15 + AD = 25$$ $$AD = 25 - 15 = 10 \text{ см}$$

Так как BC = AD (противоположные стороны параллелограмма), то

$$BC = 10 \text{ см}$$

Ответ: BC = 10 см.