2.В параллелограмме ABCD с острым углом А из вершины В опущен перпендикуляр ВК к прямой AD, AK = BK. Найдите ∠C, ∠D.

В параллелограмме ABCD BK ⊥ AD и AK = BK. Рассмотрим треугольник ABK. Так как AK = BK, то треугольник ABK – равнобедренный, а значит, углы при основании AK равны: ∠BAK = ∠ABK.

В прямоугольном треугольнике ABK ∠BKA = 90°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то:

$$∠BAK + ∠ABK + ∠BKA = 180°$$ $$∠BAK + ∠ABK = 180° - ∠BKA = 180° - 90° = 90°$$

Поскольку ∠BAK = ∠ABK, то:

$$2∠BAK = 90°$$ $$∠BAK = 45°$$

Значит, ∠A = ∠BAK = 45°. Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно:

$$∠C = ∠A = 45°$$

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, следовательно:

$$∠D = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135°$$

Ответ: ∠C = 45°, ∠D = 135°.