В четырёхугольнике ABCD AB = AD, а диагонали АС и BD перпендикулярны. Докажите, что BC = CD.

Доказательство:

Дано: четырёхугольник ABCD, \( AB = AD \), \( AC ⊥ BD \).

Пусть точка пересечения диагоналей AC и BD будет O.

Так как \( AC ⊥ BD \), то \( \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle AOD \).

У них есть общая сторона AO.

\( AB = AD \) (по условию).

\( \angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ} \) (так как диагонали перпендикулярны).

По двум сторонам и углу между ними (или по двум сторонам и прямому углу), \( \triangle AOB = \triangle AOD \).

Следовательно, соответствующие стороны равны: \( OB = OD \) и \( AB = AD \).

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle COB \) и \( \triangle COD \).

У них есть общая сторона CO.

\( OB = OD \) (доказано выше).

\( \angle COB = \angle COD = 90^{\circ} \) (так как диагонали перпендикулярны).

По двум сторонам и углу между ними (или по двум сторонам и прямому углу), \( \triangle COB = \triangle COD \).

Следовательно, соответствующие стороны равны: \( BC = CD \).

Что и требовалось доказать.

Доказано.