В четырёхугольнике ABCD (рис. 4) AO = OC, ∠BAC = ∠ACD. Докажите, что четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Дано: четырехугольник ABCD, AO = OC, ∠BAC = ∠ACD.

Доказать: ABCD - параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AOC и BOC. AO = OC (по условию).
2. ∠BAC = ∠ACD (по условию). Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Следовательно, AB || CD.
3. Так как AO = OC, то точка O является серединой AC.
4. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
5. Следовательно, ABCD - параллелограмм.

Что и требовалось доказать.