2. В ДАВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, ∠B = 70°, а в ДΜΝΚ MN = 6 см, NК = 9 см, N = 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК = 7 см, ∠К = 60°.

Рассмотрим треугольники ABC и MNK.

Дано: AB = 12 см, BC = 18 см, ∠B = 70°, MN = 6 см, NK = 9 см, ∠N = 70°, MK = 7 см, ∠K = 60°.

Найдем, подобны ли треугольники ABC и MNK.

Отношение сторон:

$$ \frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2 $$ $$ \frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2 $$

Угол между сторонами AB и BC равен углу между сторонами MN и NK, то есть ∠B = ∠N = 70°. Следовательно, треугольники ABC и MNK подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники подобны, то все их соответственные углы равны. Значит, ∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠K. Следовательно, ∠C = ∠K = 60°.

Так как треугольники подобны, то их соответственные стороны пропорциональны. Значит,

$$ \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{AC}{MK} $$

Найдем сторону AC:

$$ \frac{AC}{MK} = 2 $$ $$ AC = 2 \times MK = 2 \times 7 = 14 $$.

Ответ: AC = 14 см, ∠C = 60°.