В единичном тетраэдре ABCD точка E — середина ребра BD. Найдите угол между прямой AB и плоскостью ACE.

Пусть ребро тетраэдра равно 1. Зададим координаты: A(0, 0, 0), C(1, 0, 0), B(\(\frac12\), \(\frac{\sqrt3}{2}\), 0), D(\(\frac12\), \(\frac{\sqrt3}{6}\), \(\sqrt{\frac23}\)). Тогда E — середина BD.

1. Из координат вершин получаем \(E=(\frac12,\frac{\sqrt3}{3},\frac12\sqrt{\frac23})\).
2. Плоскость ACE содержит вектор AC и вектор AE. Её нормальный вектор пропорционален \((0,-\sqrt{\frac23}/2,\sqrt3/3)\).
3. Скалярное произведение направляющего вектора AB на единичный нормальный вектор к ACE по модулю равно \(\frac12\). Это синус угла между прямой и плоскостью, поэтому угол равен 30°.

Ответ: 30°.