В кубе A…D₁ найдите косинус угла между прямой BD₁ и плоскостью CDD₁.

Пусть ребро куба равно 1. Введём координаты: B(1, 0, 0), D₁(0, 1, 1). Плоскость CDD₁ имеет уравнение y = 1.

1. Направляющий вектор прямой BD₁: \(\vec{BD_1}=(-1,1,1)\), его длина равна \(\sqrt{3}\).
2. Ортогональная проекция этого вектора на плоскость y = 1 равна \((-1,0,1)\), её длина — \(\sqrt{2}\).
3. Косинус угла между прямой и плоскостью равен отношению длины проекции направляющего вектора к длине самого вектора: \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\).

Ответ: \(\sqrt{\frac{2}{3}}\).