В единичном тетраэдре ABCD точка E — середина ребра CD. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью ABC.

Пусть плоскость ABC горизонтальна. Высота правильного тетраэдра к основанию равна \(\sqrt{\frac23}\). Поскольку E — середина CD, её расстояние до плоскости ABC равно половине высоты: \(\frac12\sqrt{\frac23}\).

1. В треугольнике ACD медиана AE проведена к стороне CD. По теореме Аполлония: \(AE^2=\frac{2AC^2+2AD^2-CD^2}{4}=\frac34\), поэтому \(AE=\frac{\sqrt3}{2}\).
2. Синус угла между прямой и плоскостью равен отношению перпендикулярной составляющей к длине прямой: \(\sin\alpha=\frac{\frac12\sqrt{\frac23}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt2}{3}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt2}{3}\).