В кубе A…D₁ найдите тангенс угла между прямой CA₁ и плоскостью BDD₁.

Пусть ребро куба равно 1. Возьмём координаты A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A₁(0, 0, 1), D₁(0, 1, 1). Плоскость BDD₁ задаётся уравнением x + y = 1, её нормальный вектор — \((1,1,0)\).

1. Направляющий вектор прямой CA₁: \((-1,-1,1)\), его длина равна \(\sqrt{3}\).
2. Компонента вектора по нормали к плоскости имеет длину \(\frac{|(-1,-1,1)\cdot(1,1,0)|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\).
3. Длина проекции вектора на плоскость равна \(\sqrt{3-2}=1\).
4. Следовательно, \(\tan\alpha=\frac{\text{длина перпендикулярной составляющей}}{\text{длина проекции}}=\sqrt{2}\).

Ответ: \(\sqrt{2}\).