1. В группе туристов, состоящей из 100 человек, 10 человек не знали ни немецкий, ни французский языки, 75 знали немецкий, 83 знали французский. Сколько туристов знали два языка? Решите с помощью кругов Эйлера.

Решим задачу с помощью кругов Эйлера.

Пусть:

• A - множество туристов, знающих немецкий язык.
• B - множество туристов, знающих французский язык.

Тогда:

• n(A) = 75 (количество туристов, знающих немецкий).
• n(B) = 83 (количество туристов, знающих французский).
• n(A ∪ B) = 100 - 10 = 90 (количество туристов, знающих хотя бы один язык).

Используем формулу включений-исключений для двух множеств:

$$n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)$$, где $$n(A ∩ B)$$ - количество туристов, знающих оба языка.

$$90 = 75 + 83 - n(A ∩ B)$$ $$n(A ∩ B) = 75 + 83 - 90$$ $$n(A ∩ B) = 158 - 90$$ $$n(A ∩ B) = 68$$

Следовательно, 68 туристов знают оба языка.

Ответ: 68