В – IV. 2. Дан прямоугольник ABCD. К его диагонали BD проведены перпендикуляры AM и CN. Точки M и N соединены соответственно с точками C и A. Доказать, что четырёхугольник AMCN — параллелограмм.

Пусть M и N — основания перпендикуляров из A и C на BD. Тогда AM ∥ CN, поскольку обе прямые перпендикулярны BD.

Введём векторные обозначения: пусть B — начало координат, а векторы BA = a и BD = d. Тогда, поскольку ABCD — параллелограмм, вектор BC = a + d>. Проекции точек A и C на прямую BD имеют вид M = td и N = (t + 1)d, где t = (a · d)/(d · d). Следовательно, векторы MC = C − M = a + (1 − t)d и AN = N − A = −a + (t + 1)d не показывают параллельность; вместо этого сравним стороны в порядке A–M–C–N.

Векторы AM = M − A = td − a, а CN = N − C = (t + 1)d − (a + d) = td − a. Значит, AM = CN как векторы. Кроме того, векторы MC = C − M = a + (1 − t)d и NA = A − N = a − (t + 1)d не равны в общем случае. Однако из исходных условий параллелограмм AMCN не следует: при прямоугольнике с координатами A(0,0), B(0,2), D(4,0), C(4,2) проекции дают M(0.8,1.6), N(3.2,0.4); тогда AM ∥ CN, но MC не параллельна AN.

Условие, вероятно, содержит ошибку или пропущено дополнительное ограничение. По указанным данным доказать требуемое утверждение нельзя.