В кармане у Маши 24 монеты достоинством 1 рубль и 2 монеты достоинством 2 рубля. На ощупь монеты неразличимы. Маша не глядя достаёт из кармана 13 монет. Найдите вероятность того, что среди выбранных монет ровно одна монета достоинством 2 рубля.

Решение:

1. Определение общего числа монет:
• Всего монет в кармане: 24 (1 рубль) + 2 (2 рубля) = 26 монет.
2. Определение общего числа способов выбрать 13 монет из 26:
• Используем формулу сочетаний \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
• \(C(26, 13) = \frac{26!}{13!(26-13)!} = \frac{26!}{13!13!} \)
3. Определение числа способов выбрать ровно одну монету достоинством 2 рубля:
• Нужно выбрать 1 монету из 2 (достоинством 2 рубля) И 12 монет из 24 (достоинством 1 рубль).
• Число способов выбрать 1 монету из 2: \(C(2, 1) = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1!1!} = 2\)
• Число способов выбрать 12 монет из 24: \(C(24, 12) = \frac{24!}{12!(24-12)!} = \frac{24!}{12!12!} \)
• Общее число благоприятных исходов: \(C(2, 1) \times C(24, 12) = 2 \times \frac{24!}{12!12!} \)
4. Расчет вероятности:
• Вероятность = (Число благоприятных исходов) / (Общее число исходов)
• \(P = \frac{2 \times \frac{24!}{12!12!}}{\frac{26!}{13!13!}} = \frac{2 \times 24! \times 13! \times 13!}{12! \times 12! \times 26!} \)
• Упростим:
• \(P = \frac{2 \times 24! \times (13 \times 12!) \times (13 \times 12!)}{12! \times 12! \times (26 \times 25 \times 24!)} \)
• \(P = \frac{2 \times 13 \times 13}{26 \times 25} \)
• \(P = \frac{2 \times 169}{650} \)
• \(P = \frac{338}{650} \)
• Сократим дробь:
• \(P = \frac{338 \div 26}{650 \div 26} = \frac{13}{25}\)

Ответ: $$\frac{13}{25}$$