4. В каждую клетку таблицы 5×5 записано натуральное число так, что в любом прямоугольнике 1х3 (горизонтальном или вертикальном) сумма чисел равна 16. Известно, что сумма всех чисел в таблице равна 135. Какое число записано в центральной клетке? (на рисунке она выделена чёрным цветом).

1. Найдем сумму всех чисел в таблице:

Сумма всех чисел в таблице равна 135.

2. Найдем сумму чисел в каждой строке:

Каждая строка состоит из 5 клеток. В каждой строке можно выделить три прямоугольника 1х3 (с перекрытиями). Сумма чисел в каждом прямоугольнике равна 16. Значит, сумма чисел в трех прямоугольниках будет 16*3 = 48. Так как прямоугольники перекрываются, то сумма чисел в строке будет меньше 48.

3. Рассмотрим таблицу:

+---+---+---+---+---+
| a | b | c | d | e |
+---+---+---+---+---+
| f | g | h | i | j |
+---+---+---+---+---+
| k | l | m | n | o |
+---+---+---+---+---+
| p | q | r | s | t |
+---+---+---+---+---+
| u | v | w | x | y |
+---+---+---+---+---+

Сумма чисел в каждом прямоугольнике 1x3 равна 16. Например, a+b+c = 16, b+c+d = 16, c+d+e = 16. f+g+h = 16, g+h+i = 16, h+i+j = 16. k+l+m = 16, l+m+n = 16, m+n+o = 16. p+q+r = 16, q+r+s = 16, r+s+t = 16. u+v+w = 16, v+w+x = 16, w+x+y = 16.

Сумма чисел в каждом прямоугольнике 3x1 равна 16. Например, a+f+k = 16, f+k+p = 16, k+p+u = 16, b+g+l = 16, g+l+q = 16, l+q+v = 16, c+h+m = 16, h+m+r = 16, m+r+w = 16, d+i+n = 16, i+n+s = 16, n+s+x = 16, e+j+o = 16, j+o+t = 16, o+t+y = 16.

Сумма всех чисел в таблице равна 135. a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n+o+p+q+r+s+t+u+v+w+x+y = 135

4. Найдем центральную клетку:

Центральная клетка - это клетка m.

5. Решение:

В каждом прямоугольнике 1х3 сумма чисел равна 16. Рассмотрим три вертикальных прямоугольника, содержащих центральную клетку m: c+h+m = 16, h+m+r = 16, m+r+w = 16.

Сложим все эти равенства: c+h+m+h+m+r+m+r+w = 16+16+16 = 48.

c+2h+3m+2r+w = 48

Рассмотрим три горизонтальных прямоугольника, содержащих центральную клетку m: k+l+m = 16, l+m+n = 16, m+n+o = 16.

Сложим все эти равенства: k+l+m+l+m+n+m+n+o = 16+16+16 = 48.

k+2l+3m+2n+o = 48

Найдем сумму всех чисел в таблице, сгруппировав их в виде вертикальных прямоугольников:

(a+f+k) + (b+g+l) + (c+h+m) + (d+i+n) + (e+j+o) + (f+k+p) + (g+l+q) + (h+m+r) + (i+n+s) + (j+o+t) + (k+p+u) + (l+q+v) + (m+r+w) + (n+s+x) + (o+t+y) = 16*15 = 240.

135 = a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n+o+p+q+r+s+t+u+v+w+x+y = 135

Пусть клетка m = x.

Ответ: 5