5. В стране 5 городов и 100 деревень. Между двумя любыми населенными пунктами (город-город, город-деревня, деревня-деревня) проложена не более чем одна дорога (возможно, дороги нет). Известно, что любой путь из одной деревни в другую, проходит хотя бы через один город. Какое наибольшее количество дорог могло быть в этой стране? Ответ обоснуйте.

1. Найдем максимальное количество дорог между городами:

Между 5 городами можно провести максимум 5*(5-1)/2 = 10 дорог.

2. Найдем максимальное количество дорог между городом и деревней:

Каждая деревня должна быть связана хотя бы с одним городом. Так как любой путь из одной деревни в другую проходит хотя бы через один город, то каждая деревня должна быть связана хотя бы с одним городом.

Пусть все деревни связаны с одним городом. Тогда количество дорог между городами и деревнями будет 100.

3. Найдем максимальное количество дорог между деревнями:

Так как любой путь из одной деревни в другую проходит хотя бы через один город, то между деревнями не должно быть дорог.

4. Найдем максимальное количество дорог в этой стране:

Максимальное количество дорог будет 10+100 = 110.

5. Обоснование:

Если бы между двумя деревнями существовала дорога, то путь между ними не проходил бы через город, что противоречит условию задачи. Следовательно, между деревнями не должно быть дорог.

Каждая деревня должна быть связана хотя бы с одним городом, чтобы любой путь из одной деревни в другую проходил через город. Следовательно, количество дорог между городами и деревнями должно быть равно количеству деревень.

6. Вывод:

Максимальное количество дорог в этой стране равно 110.

Ответ: 110