15. В кладовой хранилось несколько головок сыра. Однажды ночью пришли мышки и съели 8 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 12, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в 4 раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в кладовой?

Пошаговое решение:

1. Пусть x - количество мышек в первую ночь. Тогда, количество сыра, съеденного одной мышкой в первую ночь, равно \(y\). Общее количество головок сыра, хранившихся в кладовой, равно \(z\).
2. Первая ночь: Мышки съели 8 головок сыра, то есть \(x \cdot y = 8\).
3. Вторая ночь: Пришли 12 мышек, и каждая съела в 4 раза меньше сыра, то есть \(\frac{y}{4}\). Оставшийся сыр: \(z - 8\), следовательно, \(12 \cdot \frac{y}{4} = z - 8\).
4. Упростим уравнение для второй ночи: \[3y = z - 8\]
5. Выразим \(y\) из первого уравнения: \[y = \frac{8}{x}\]
6. Подставим это значение во второе уравнение: \[3 \cdot \frac{8}{x} = z - 8\] \[\frac{24}{x} = z - 8\] \[24 = x(z - 8)\]
7. Так как x и z - целые числа, а количество мышек должно быть больше нуля, рассмотрим возможные значения для x, которые делят 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
8. По условию задачи, если бы пришли все мышки и съели поровну, то во вторую ночь каждая мышка съела в 4 раза меньше. Значит количество сыра должно быть делимо на 4.
9. Пусть \(x = 8\), тогда \(y = \frac{8}{8} = 1\). Из уравнения \(3y = z - 8\), получаем \[3 \cdot 1 = z - 8\] \[z = 3 + 8 = 11\]

Ответ: 11 головок сыра