В классе 27 человек, в том числе три подруги — Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на три равные группы. Найдите вероятность того, что хотя бы две из трёх подруг окажутся в одной группе. Ответ округлите до сотых.

Пусть в классе 27 человек, и их случайным образом разбивают на 3 группы по 9 человек в каждой. Необходимо найти вероятность того, что хотя бы две из трех подруг (Оля, Аня и Юля) окажутся в одной группе.

1. Сначала найдем общее количество способов разбить класс на три группы по 9 человек. Это можно сделать следующим образом: $$rac{C_{27}^{9} cdot C_{18}^{9} cdot C_{9}^{9}}{3!} = rac{27!}{9! cdot 9! cdot 9! cdot 3!}$$.
2. Рассмотрим случай, когда все три подруги находятся в одной группе. Сначала выберем группу для них (3 варианта), а затем выберем еще 6 человек из оставшихся 24, чтобы дополнить эту группу до 9 человек. Тогда количество способов равно $$3 cdot C_{24}^{6} cdot C_{18}^{9} cdot C_{9}^{9} = 3 cdot rac{24!}{6! cdot 9! cdot 9!}$$.
3. Рассмотрим случай, когда две подруги находятся в одной группе, а третья - в другой. Сначала выберем группу для двух подруг (3 варианта), затем выберем двух подруг из трех ($$C_3^2 = 3$$ варианта). Далее, выберем еще 7 человек из оставшихся 24, чтобы дополнить эту группу до 9 человек. Затем выберем группу для оставшейся подруги (2 варианта), и выберем еще 8 человек из оставшихся 17, чтобы дополнить эту группу до 9 человек. Тогда количество способов равно $$3 cdot 3 cdot C_{24}^{7} cdot 2 cdot C_{17}^{8} cdot C_{9}^{9} = 18 cdot rac{24!}{7! cdot 8! cdot 9!}$$.
4. Таким образом, количество благоприятных исходов равно $$3 cdot rac{24!}{6! cdot 9! cdot 9!} + 18 cdot rac{24!}{7! cdot 8! cdot 9!} = rac{24!}{9! cdot 9!} cdot (rac{3}{6!} + rac{18}{7! cdot 8!}) = rac{24!}{9! cdot 9!} cdot (rac{3 cdot 7 cdot 8 + 18 cdot 6}{7! cdot 8}) = rac{24!}{9! cdot 9!} cdot rac{168 + 108}{5040} = rac{24!}{9! cdot 9!} cdot rac{276}{5040}$$.
5. Вероятность равна $$rac{rac{24!}{9! cdot 9!} cdot rac{276}{5040}}{rac{27!}{9! cdot 9! cdot 9! cdot 3!}} = rac{24! cdot 276 cdot 9! cdot 3!}{27! cdot 5040} = rac{24! cdot 276 cdot 3!}{27 cdot 26 cdot 25 cdot 24! cdot 5040} = rac{276 cdot 6}{27 cdot 26 cdot 25 cdot 5040} = rac{1656}{8820000} approx 0.00187755$$.
6. Однако, это не совсем верный подход. Более простой способ: Рассмотрим вероятность того, что Оля, Аня и Юля не окажутся в одной группе. Общее количество способов разбить 27 человек на три группы по 9 человек – это $$rac{C_{27}^9 cdot C_{18}^9 cdot C_9^9}{3!}$$. Вероятность того, что все три подруги в разных группах: Оля попадает в одну из групп. Вероятность для Ани попасть в другую группу $$rac{18}{26}$$. Вероятность для Юли попасть в третью группу $$rac{9}{25}$$. Тогда вероятность, что все три в разных группах: $$rac{18}{26} cdot rac{9}{25} = rac{162}{650} approx 0.249$$. Значит, вероятность, что хотя бы две из них в одной группе: $$1 - rac{18}{26} cdot rac{9}{25} = 1 - rac{162}{650} = rac{488}{650} approx 0.75$$.

Вероятность того, что хотя бы две из трёх подруг окажутся в одной группе, равна примерно 0,75.

Ответ: 0,75