2) В классе 28 учеников. На уроке им задали три задачи. Каждую задачу решили по 9 учеников. Каждую пару задач решили по 4 ученика. Кроме того, один ученик решил все три задачи. а) Сколько учеников не решило ни одной задачи? б) Какова вероятность, что ученик решил 1 и 3 задачу, а 2 не решил? в) Какова вероятность, что ученик решил только 1 задачу? г) Какова вероятность, что ученик решили 1 и/или 3 задачу, а 2 не решил?

а) Пусть (A), (B) и (C) - множества учеников, решивших первую, вторую и третью задачи соответственно. Используем формулу включений-исключений: \(|A cup B cup C| = |A| + |B| + |C| - |A cap B| - |A cap C| - |B cap C| + |A cap B cap C|\) По условию: (|A| = |B| = |C| = 9), (|A cap B| = |A cap C| = |B cap C| = 4), (|A cap B cap C| = 1). Подставляем значения: \(|A cup B cup C| = 9 + 9 + 9 - 4 - 4 - 4 + 1 = 27 - 12 + 1 = 16\) Количество учеников, не решивших ни одной задачи: \(28 - |A cup B cup C| = 28 - 16 = 12\) б) Вероятность того, что ученик решил 1 и 3 задачу, а 2 не решил: Нужно найти количество учеников, которые решили 1 и 3 задачи, но не решили 2 задачу, то есть (|A \cap C \cap B^c|). \(|A \cap C \cap B^c| = |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 4 - 1 = 3\) Вероятность: \(P = \frac{3}{28}\) в) Вероятность, что ученик решил только 1 задачу: Количество учеников, решивших только одну задачу, равно: \(|A \cap B^c \cap C^c| + |B \cap A^c \cap C^c| + |C \cap A^c \cap B^c|\) Воспользуемся формулой: \(|A \cap B^c \cap C^c| = |A| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| = 9 - 4 - 4 + 1 = 2\) Аналогично, (|B \cap A^c \cap C^c| = 2) и (|C \cap A^c \cap B^c| = 2). Следовательно, количество учеников, решивших только одну задачу, равно (2 + 2 + 2 = 6). Вероятность: \(P = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}\) г) Вероятность, что ученик решили 1 и/или 3 задачу, а 2 не решил: Это означает, что ученик решил хотя бы одну из задач 1 или 3, но не решил 2. Необходимо найти (|(A \cup C) \cap B^c|). \(|(A \cup C) \cap B^c| = |A \cap B^c| + |C \cap B^c| - |A \cap C \cap B^c|\) Мы уже знаем, что (|A \cap C \cap B^c| = 3). \(|A \cap B^c| = |A| - |A \cap B| = 9 - 4 = 5\) \(|C \cap B^c| = |C| - |C \cap B| = 9 - 4 = 5\) Тогда: \(|(A \cup C) \cap B^c| = 5 + 5 - 3 = 7\) Вероятность: \(P = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}\) Ответ: а) 12, б) 3/28, в) 3/14, г) 1/4